微分方程式のワークフローは以下のとおりです。
1. 微分方程式の種類を選定
2. MATLAB 関数を選定
3. 式を正しい形に変形
4. 数値解放のための適切なオプションを決定
5. 式を計算
6. 必要に応じて後処理
詳細に関しては、以下に各項目の説明をしています。
1. 微分方程式の種類を選定
- 常微分方程式 (ODE)
常微分方程式の場合、スティッフかどうかについての情報も必要です。
- 偏微分方程式 (PDE)
偏微分方程式の場合に必要な情報は以下のとおりです。
A) 空間次元数
B) ドメイン
C) 境界条件
- 確率微分方程式 (Stochastic ODEs)
- 微分代数方程式 (DAE)
上記全ての場合において、式が良設定問題であるかどうか知る必要があります。解が存在し、一意であり、パラメーターが連続的に変化したときに解も連続的に変化すれば、問題は良設定です。
2. MATLAB 関数を選定
以下では、さまざまなタイプの問題に使用される、一部のソルバを紹介します。
(特に記載がなければ、関数はオプション製品は必要ではありません）
ODE:
ノンスティッフ: ODE45
PDE:
楕円, 放物線, 1空間次元: PDEPE
楕円, 放物線, 双曲線, 2空間次元: SOLVEPDE (Partial Differential Equation Toolbox)
(参考) Solve Problems Using PDEModel Objects
3次元以上の空間次元の機能は提供していません。
Stochastic ODEs:
- SDE (Economics Toolbox)
- SBIOENSEMBLERUN (SimBiology Toolbox)
DAE:
上記は完全なリストではないため、MATLAB で利用可能な微分方程式のソルバの概要については、以下のリンクを参照してください。
・数値積分と微分方程式
3. 式を正しい形に変形
STEP 2 で選択した関数に応じて異なります。例えば、2次の ODE を 1次にする必要があります。
4. 数値解放のための適切なオプションを決定
各ソルバは異なるオプションを用意しています。STEP 2 で選択した関数のドキュメンテーションを参照して下さい。
5. 式を計算
6. 必要に応じて後処理
一般的に、後処理は 3 つのカテゴリに分けることができます。
- ソルバによって求められた解の補間
- 解のプロット
- エラー解析
これらの後処理には、
,
,
(Partial Differential Equation Toolbox) が有効です。
多くの問題は、MATLAB で提供されている数値ソルバでは直接解決することができません。例えば、双曲線問題にはソルバが存在しません。このような場合、以下のような方法をとることができます。
- MathWorks の関連製品を使用して独自のソルバを作成
- MathWorks の関連製品で解くことのできる問題に変換
- MATLAB Central の File Exchange を確認してください。なお、このサイトに投稿されたファイルは MathWorks 製品として公式にサポートされていないことに注意してください。
