Numerische Analyse von gewöhnlichen und retardierten Differentialgleichungen

Numerische Analyse von gewöhnlichen und retardierten Differentialgleichungen dient als prägnantes Lehrbuch für Studenten in einem fortgeschrittenen Undergraduate- oder First-Year-Graduate-Kurs in verschiedenen Disziplinen wie angewandte Mathematik, Steuerung und Ingenieurwesen, die den modernen Standard der numerischen Methoden von gewöhnlichen und verzögerten Differentialgleichungen verstehen wollen. Experten in denselben Bereichen können sich auch über die jüngsten Entwicklungen in der numerischen Analyse solcher Differentialsysteme informieren.

Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) sind ein starkes mathematisches Werkzeug, um eine Vielzahl von Phänomenen in Wissenschaft und Technik auszudrücken. Neben ihrer eigenen Bedeutung ist eine der mächtigen Richtungen, in die sich ODEs ausdehnen, die Einbeziehung einer unbekannten Funktion mit verzögertem Argument. Dies wird als verzögerte Differentialgleichungen (Delay differential equations, DDEs) bezeichnet, die häufig in der mathematischen Modellierung von Biologie, Demographie, Epidemiologie und Kontrolltheorie vorkommen. In einigen Fällen kann die Lösung einer Differentialgleichung durch algebraische Kombinationen bekannter mathematischer Funktionen erhalten werden. In vielen praktischen Fällen ist eine solche Lösung jedoch recht schwierig oder nicht verfügbar, und es sind numerische Näherungen erforderlich. Die moderne Entwicklung von Computern beschleunigt die Situation und eröffnet darüber hinaus mehr Möglichkeiten der numerischen Mittel. Die Kenntnis und das Fachwissen über die numerische Lösung von Differentialgleichungen wird nun in weiten Bereichen der Wissenschaft und des Ingenieurwesens vorausgesetzt.

Man könnte meinen, dass ein gut organisiertes Softwarepaket wie MATLAB in etwa die gleiche Lösung bietet. In gewisser Weise stimmt das auch, aber man muss bedenken, dass der blinde Einsatz von Softwarepaketen den Benutzer in die Irre führt. Das Wesentliche der numerischen Lösung von Differentialgleichungen muss noch gelernt werden.

Das vorliegende Buch soll das Wesentliche der numerischen Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen sowie von Verzögerungsdifferentialgleichungen vermitteln. Die Autoren haben insbesondere festgestellt, dass es noch wenige prägnante Lehrbücher über Verzögerungsdifferentialgleichungen gibt, und haben sich dann daran gemacht, die Lücke durch möglichst transparente Beschreibungen zu schließen. Die wichtigsten Algorithmen zur numerischen Lösung sind in diesem Buch klar beschrieben. Auch die Stabilität von Lösungen von ODEs und DDEs ist von entscheidender Bedeutung. Das Buch führt in die asymptotische Stabilität von analytischen und numerischen Lösungen ein und bietet einen praktischen Weg zur Analyse ihrer Stabilität unter Verwendung einer Theorie komplexer Funktionen.